בכל בחינה פסיכומטרית יש שאלה אחת בממוצעים (בממוצע). זה אמנם מעט מאוד, אבל העקרונות שנלמדים בנושא ממוצעים חיוניים לפעמים גם לפתרון שאלות אחרות בבחינה, למשל בשאלות הסקה מתרשים, קצב, ואפילו גיאומטריה.
המשמעות של ממוצע היא "מה היה קורה לו היינו מחלקים הכל שווה בשווה?"
דמיינו שניקח את משכורותיהם של כלל העובדים במדינה, נשים אותן בקופה משותפת, ואז נחלק את הסכום שהתקבל שווה בשווה בין כולם (קצת כמו בקומוניזם…). זוהי המשמעות של "השכר הממוצע במשק". זוהי למעשה נוסחת הממוצע:
סכום האיברים חלקי כמות האיברים=ממוצע.
כל שאלת ממוצעים ניתנת לפתרון דרך נוסחת הממוצע. אבל בפסיכומטרי נחפש תמיד גם לחסוך זמן ולהימנע מחישובים מיותרים, ולכן פיתחנו שיטות לפתרון שאלות ממוצע שחוסכות את השימוש בנוסחה. את כל שיטות העבוד תלמדו לעומק כשתעשו קורס פסיכומטרי ב-HIGH-Q.
מרחק מהממוצע
אפשר לדמות את הממוצע לתחרות "משיכת חבל". הממוצע נמצא בנקודה כלשהי לאורך החבל, מצדו אחד האיברים הגדולים ממנו, שמושכים אותו כלפי מעלה, ומצדו השני האיברים הקטנים ממנו, שמושכים אותו מטה. ככל שאיבר רחוק יותר מהממוצע כך הוא "מושך" אותו יותר לכיוונו. כדי לשמור על מאזן הכוחות, סך המרחקים של האיברים הגדולים מהממוצע חייב להיות שווה לסך כל המרחקים של האיברים הקטנים מהממוצע! או במילים אחרות, סכום המרחקים מהממוצע של כל האיברים חייב להיות 0.
שאלה לדוגמה:
ממוצע ציוני פסיכומטרי של שלוש חברות – גאיה, גל וגילי – הוא 600. אם גאיה קיבלה 550 (גאיה לא עשתה קורס פסיכומטרי), וגל קיבלה ציון פסיכומטרי 750 (גל עשתה קורס פסיכומטרי ב-HIGH-Q), מהו הציון הפסיכומטרי של גילי?
ניתן לראות כי גאיה קיבלה 50 נקודות פחות מהממוצע. מרחקה מהממוצע הוא 50-.
גל קיבלה 150 נקודות יותר מהממוצע. מרחקה מהממוצע הוא 150+.
לכן מאזן הכוחות בין גאיה וגל – סה״כ 100+ מעל הממוצע.
כדי לאזן את התמונה, גילי חייבת למשוך לכיוון ההפוך ולהיות 100-, כלומר ציונה צריך להיות 100 נקודות מתחת לממוצע – אם הממוצע הוא 600, גילי צריכה לקבל 500.
אם כן, בשאלות כאלה ניתן רק לחשב את המרחקים מהממוצע, במקום להציב מספרים גדולים בנוסחה. חישוב המרחקים הוא פשוט בהרבה וחוסך זמן יקר.
תרגילים פסיכומטריים עם שינוי בממוצע
בשאלות שבהן הממוצע משתנה, הדרך המהירה ביותר לפתרון תהיה לחשב רק את השינוי, ואותו לחלק בין מספר האיברים.
"גאיה חיכתה מועד אחד ולאחר מכן ניגשה שוב למבחן פסיכומטרי, וקיבלה 640. מהו הממוצע החדש של שלוש החברות?"
כאמור, הציון הפסיכומטרי הממוצע של החברות היה 600.
השינוי הוא תוספת של 90 נקודות לגאיה, ששיפרה את הציון שלה מ-550 ל-640.
את השינוי הזה יש לחלק במספר האיברים (90 חילוק 3), ומקבלים שהשינוי בממוצע הוא תוספת של 30+ נקודות. כלומר, קיבלנו ציון פסיכומטרי ממוצע חדש – 630.
"אם לחבורה הצטרף שלמה, מרצה תותח-על של קורס פסיכומטרי, שציונו 790, מה יהיה הממוצע החדש של ציוני פסיכומטרי?"
סיכמנו שהממוצע עומד עכשיו על 630.
שלמה המרצה המהולל קיבל ציון גבוה מהממוצע, ולכן כשהוא מ1צטרף לקבוצה הוא "מושך" את הממוצע כלפי מעלה. אבל בכמה בדיוק הוא מושך אותו?
ה"שינוי" כאשר מישהו מצטרף או עוזב קבוצה הוא ההפרש שלו מהממוצע. כלומר, במקרה של שלמה, השינוי הוא תוספת של 160 נקודות (ההפרש בין 790 ל-630). את התוספת מחלקים במספר האיברים בקבוצה (4 איברים כולל שלמה), ומקבלים תוספת לממוצע של 40 נקודות. מכאן נקבל ציון פסיכומטרי ממוצע חדש – 670.
הגודל כן קובע – ממוצע משוקלל
"בכיתה מסוימת שעשתה קורס פסיכומטרי, ממוצע ציוני הבנים הוא 600, וממוצע ציוני הבנות הוא 620. מהו ציון פסיכומטרי ממוצע של תלמיד בכיתה?"
נדמה כאילו התשובה לשאלה זו תהיה 610 – בדיוק באמצע, אבל למען האמת התשובה היא שלא ניתן לדעת.
נסביר: אמרנו קודם שממוצע דומה למשיכת חבל. אם הכוחות מאוזנים, הממוצע יהיה בדיוק באמצע. כלומר, רק אם מספר הבנים והבנות שווה, אכן יהיה ציון פסיכומטרי ממוצע 610, בדיוק באמצע. אבל אם בכיתה יותר בנים, הם ימשכו יותר חזק לכיוון שלהם, והממוצע יהיה נמוך מ-610 וקרוב יותר ל-600. לעומת זאת, אם בכיתה יותר בנות, הן מושכות חזק יותר לכיוונן, והממוצע יהיה גדול מ-610 ויותר קרוב ל-620.
אלה שאלות ממוצע משוקלל, והן עוסקות בשילוב בין קבוצות, כאשר לכל קבוצה גודל שונה ולכן משקל שונה בקביעת הממוצע.
דוגמה לממוצע משוקלל ניתן לראות בחישוב ממוצע בחינות בגרות. ממוצע של בחינות בגרות אינו מחושב ע"י חיבור פשוט של סך כל הציונים בתעודה, חילוק סך כל המקצועות. מדוע? מכיוון שלכל בגרות יש משקל אחר. למשל, בגרות ברמת 4 יח"ל בעלת משקל רב יותר בקביעת הציון הממוצע מאשר בגרות של 2 יח"ל או יחידה אחת.
אם כך, איך נחשב את ממוצע תעודת הבגרות שלנו? (נכון שהיום יש מחשבונים שעושים את זה באינטרנט, אבל נסו אשכרה לחשב, לשם התרגול – כך גם נעשה במסגרת קורס פסיכומטרי). נניח שב-4 יח"ל במתמטיקה הציון הוא 80 – זה יעניק לנו 320 נקודות לסכום הציונים (4X80); ב-5 יח"ל באנגלית קיבלנו ציון 90 – זה יוסיף 450 נקודות לסכום הציונים; וב-2 יח"ל בהיסטוריה הציון הוא 70 – זה יוסיף 140 נקודות. את סכום הציונים שמקבלים בסוף מחלקים לא במספר המקצועות, אלא במספר יחידות הלימוד הכולל.
ועכשיו נחזור לכיתה שלנו, שנמצאת בעיצומו של קורס פסיכומטרי:
נניח שבכיתה יש 3 בנים ו-9 בנות (קורס פסיכומטרי הוא מקום נהדר להכיר בנות). כיוון שיש בכיתה יותר בנות, ובממוצע משוקלל הגודל כן קובע, נדע כי כשנחשב ציון פסיכומטרי ממוצע, הוא יהיה יותר קרוב ל-620 של הבנות, ולכן גבוה בוודאות מ-610.
אבל איך נחשב את הממוצע במדויק?
לפי היחס בין כמות הבנות לכמות הבנים.
יחס הכמויות קובע את יחס המרחקים מהממוצע. זה אומר שגם המרחקים מהממוצע יתחלקו ע"פ היחס הזה. אם למשל יש בכיתה 9 בנות ו-3 בנים, היחס בין כמות הבנות לכמות הבנים הוא 3:1, וגם הציון הממוצע יהיה קרוב פי 3 לציון הבנות מאשר לציון הבנים.
סך כל המרחק בין ציוני הקבוצות הוא 20. אם מחלקים מרחק של 20 ע"פ יחס של 1:3 מקבלים יחס של 5:15. כלומר – המרחק של הממוצע מציון הבנות שעושות קורס פסיכומטרי (620) הוא 5 נקודות, ומרחקו מציון הבנים שעושים קורס פסיכומטרי (600) הוא 15 נקודות. מכאן נובע שממוצע ציוני פסיכומטרי בכיתה הוא בדיוק 615.
השיטה שבה השתמשנו כאן פותרת כל שאלה שעוסקת בממוצע, ערבוב או שילוב של 2 קבוצות. כמובן ששיטה זו נלמדת בהרחבה במהלך קורס פסיכומטרי אצלנו. נכון, אולי היא נראית מעט מסובכת בהתחלה, אבל אחרי שתלמדו אותה לעומק, כאמור במהלך קורס פסיכומטרי ב-HIGH-Q, ותתרגלו אותה בבית, תגלו שהיא למעשה הרבה יותר פשוטה ומהירה, מאשר חישוב לפי נוסחת הממוצע.
היכנסו עכשיו לקבל עוד פרטים על פסיכומטרי , הרשמה לפסיכומטרי או על מבחן הפסיכומטרי.
